HOOK · 시작 질문
미지수가 둘 이면?
One equation, two unknowns — infinitely many solutions.
A LITTLE PUZZLE
"두 수의 합이 $5$이다." 이를 식으로 쓰면 $x + y = 5$. 그렇다면 해는?
$x = 1, y = 4$도 해, $x = 2, y = 3$도 해, $x = 0, y = 5$도 해, ... 무수히 많은 쌍 이 이 식을 참으로 만듭니다.
미지수가 하나일 때($2x = 6$)는 해가 한 점이었지만, 미지수가 둘이면 해는 직선 위의 모든 점 이 됩니다. 한 식만으로는 해를 한 점으로 좁힐 수 없는 것이죠.
그런데 식이 둘 이 되면? "두 수의 합이 $5$이고, 차이가 $1$이다." → $\{x + y = 5,\ x - y = 1\}$. 이를 동시에 만족하는 쌍은 단 하나 — $(3, 2)$. 이것이 연립방정식 입니다.
이 차시는 미지수 2개 일차방정식 의 정의·해의 의미를 다루고, 그 뒤 연립방정식 의 개념을 자연스럽게 도입합니다.
DEFINITION · 정의
미지수 2개 일차방정식
A linear equation with two variables — defined and exemplified.
DEFINITION
미지수가 2개 인 일차방정식
$a x + b y = c$
단, $a, b$는 0이 아닌 상수, $c$는 상수
두 미지수($x, y$)에 대한 일차식 = 상수 꼴의 등식입니다. 예: $x + y = 5$, $2x + 3y = 12$, $-x + 4y = 7$. 이 방정식을 참 으로 만드는 모든 $(x, y)$ 쌍을 해 라 하며, 일반적으로 무수히 많습니다 .
예를 들어 $x + y = 5$의 해 중 일부:
$x$ $y$ $x + y$ 해인가?
$0$ $5$ $5$ ✓ 해 $1$ $4$ $5$ ✓ 해 $2$ $3$ $5$ ✓ 해 $3$ $2$ $5$ ✓ 해 $3$ $5$ $8$ ✗ 아님 $-1$ $6$ $5$ ✓ 해
자연수 조건 이 있는 경우엔 해의 개수가 유한해집니다. $x + y = 5$의 자연수 해: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ → 4개 .
FINDING SOLUTIONS · 해 찾기
자연수 해 찾기
When natural numbers are required, count carefully.
시연 · $2x + y = 7$ 의 자연수 해
$2x + y = 7$ ($x, y$는 자연수)
STEP 1 . 한 미지수를 다른 미지수로 표현: $y = 7 - 2x$.
STEP 2 . $x = 1, 2, 3, \ldots$을 차례로 대입하며 $y$가 자연수가 되는 경우를 찾는다.
STEP 3 . $x = 1$ → $y = 5$ ✓; $x = 2$ → $y = 3$ ✓; $x = 3$ → $y = 1$ ✓; $x = 4$ → $y = -1$ ✗ (자연수 아님).
▶ 자연수 해: $(1, 5), (2, 3), (3, 1)$ → 3개
SYSTEM · 연립방정식
두 식 을 동시에 만족하는 한 쌍When two equations must hold simultaneously — usually a single point.
DEFINITION
연립일차방정식
$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$
두 일차방정식을 한 묶음으로
두 미지수 2개 일차방정식을 동시에 만족시키는 한 쌍 $(x, y)$를 연립방정식의 해 라 합니다. 일반적으로 해는 단 하나 입니다 (두 직선이 만나는 한 점).
예를 들어 $\{x + y = 5,\ x - y = 1\}$의 해를 찾으려면 두 식을 모두 만족하는 $(x, y)$를 찾아야 합니다.
$x$ $y$ 식 ①: $x + y = ?$ 식 ②: $x - y = ?$ 연립의 해?
$1$ $4$ $5$ ✓ $-3$ ✗ 아님 $2$ $3$ $5$ ✓ $-1$ ✗ 아님 $3$ $2$ $5$ ✓ $1$ ✓ ✓ 해 $4$ $1$ $5$ ✓ $3$ ✗ 아님
두 식을 동시에 만족하는 쌍은 $(3, 2)$ 하나뿐. 다음 차시(2.2, 2.3)에서 이런 해를 체계적으로 찾는 방법 — 대입법·가감법을 배웁니다.
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples on natural-number solutions.
EXAMPLE 01
자연수 해 개수 세기
$x + 3y = 10$의 자연수 해 $(x, y)$의 개수를 구하시오.
1
$x = 10 - 3y$. $y$에 자연수를 대입.
2
$y = 1$ → $x = 7$ ✓; $y = 2$ → $x = 4$ ✓; $y = 3$ → $x = 1$ ✓; $y = 4$ → $x = -2$ ✗.
3
자연수 해: $(7, 1), (4, 2), (1, 3)$ → 3개 .
▶ 답: $3$개
EXAMPLE 02
두 미지 계수 구하기
$(1, 2)$가 $\{2x + ay = 8,\ bx - y = 0\}$의 해일 때, $a$와 $b$의 값을 구하시오.
1
$x = 1, y = 2$를 첫째 식에 대입: $2(1) + a(2) = 8$ → $2 + 2a = 8$ → $a = 3$.
2
둘째 식에 대입: $b(1) - 2 = 0$ → $b = 2$.
▶ 답: $a = 3$, $b = 2$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty.
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
$x + y = 6$의 해 중 $x = 2$일 때 $y$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$2 + y = 6$ → $y = 4$.
$2x + y = 8$의 해 중 $x = 3$일 때 $y$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$2 \times 3 + y = 8$ → $6 + y = 8$ → $y = 2$.
$x + y = 5$의 자연수 해 $(x, y)$의 개수는? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ → 4개.
$(x, y) = (2, 3)$이 $ax + y = 11$의 해일 때 $a$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$2a + 3 = 11$ → $2a = 8$ → $a = 4$.
$x + 3y = 10$의 자연수 해 $(x, y)$의 개수는? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$y=1$: $x=7$; $y=2$: $x=4$; $y=3$: $x=1$ → 3개 .
$\{x + y = 5,\ x - y = 1\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
두 식 모두 만족: $(3, 2)$. $x = 3$.
$(1, 2)$가 $\{2x + ay = 8,\ bx - y = 0\}$의 해일 때 $a + b$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
첫째: $2 + 2a = 8$ → $a = 3$. 둘째: $b - 2 = 0$ → $b = 2$.
$a + b = 5$.
$x + 2y = 7$의 자연수 해 $(x, y)$에서 $x + y$의 최댓값 은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
자연수 해: $(5,1), (3,2), (1,3)$. $x+y$: $6, 5, 4$. 최댓값 6 .